这套题的压轴，明显是加压了。找了半天圆锥曲线，诶，不见了。再定睛一看，原来在躲猫猫，藏到立体几何大题了。还得建模，啊，真的是会让人发出尖锐的爆鸣声～
第一问就很有必要直接根据抛物线定义计算轨迹， 的最小值出来了，体积最小自然拿下！第二问我们把平面延伸一下，其实可以直接计算出来平面上的点肯定满足 ，把它和抛物线联立一下，就可以韦达了，剩下的虽然是空间版距离，但是依旧不难。
但是第三问就真的炸裂了，直接把圆锥曲线的二级结论移植到立体几何，行行行，演都不演了。为了方便圆锥曲线算结论时候正常发挥，我们也只能调转一下坐标系然后走完圆锥曲线的流程，抽离出来算一顿再嫁接回立体几何，面内一个向量出来了，再根据线面平行直接发起平移到面里，面内俩相交直线就凑齐了，算法向量并不困难，最后的二面角定值计算就变成常规题了，不难～
已知正方体 的棱长为 , 对角线 的中点为 , 动点 在平面 内, 且点 到平面 的距离等于 . 求四棱锥 体积的最小值; 记点 的轨迹为曲线 , 点 是曲线 上不同三点. 若平面 与轨迹 相交于 两点, 求线段 的长; 若点 在点 上方, 且 , 与平面 所成角相等, 平面 过 且与 平行, 判断平面 与平面 的夹角是否为定值, 若是定值, 求出这个夹角的余弦值; 若不是定值, 请说明理由.
作 面
再过 作
则 ,
从而
按如图所示建系
由于 在 上
从而设
由 得
这是一条抛物线
其中
则
因而 体积最小为
其实即面
位于这个平面上的点, 其坐标满足
联立
消去 得：
设 ,
由韦达：,
跑到空间的平面解几结论：
这次我们换个坐标系, 不然太难了
原抛物线顶点,
过作
则,
以下：以为原点, 这样建系（如图所示）
注：轴在面上,轴与呈
所在直线：
由定义,中抛物线变为
带入, 得
以下：
面面
,面
面
又,与所成线面角相等, 从而在平面上,,斜率和为
照理说斜率该为定值, 这是圆锥曲线中结论
行啊, 回圆曲上分析!
下面我们提取平面分析：
设,,
接下来再跳回立体几何分析：
由于在平面上我们求出了
则在空间中, 按 中的建系方式
的方向向量：, 这个向量记作
,
又 与 平行
因此 和刚才 的方向向量一样, 是 里相交的两线
以下
设 的法向量
则 , 从而
而 的法向量明显可以是
从而这个角度确为定值
记这个角为
从而所求余弦值为
