【试题分析】南昌一模|“单杆+电感”问题,电磁感应中的简谐运动

试题内容

如图所示，倾角为、间距为的光滑导轨的上端连接一自感系数为的线圈，空间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场，现将一根质量为的导体棒从导轨上某处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速度与周期和振幅的关系为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ）导体棒简谐运动的振幅为
导体棒的最大速度为
回路中的最大电流为
导体棒简谐运动的周期为

分析解答

（1）推导回路中电流变化规律 在任意一段很短的时间间隔内，由于回路中电阻忽略不计，则回路中导体棒的动生电动势与电感线圈的自感电动势满足：

为什么满足上述关系式（1）呢？请看下图：由于回路中同一点的电势是相同的，例如，则有：

其中：
，化简可得关系式（1）。
由于时间很短，所以关系式(1)中的速度也可以写成微分式，即有：

对关系式(2)左右两边求和（积分）可得：

关系式(3)中的电流与导体棒从静止位置沿导轨向下运动的位移有对应关系，也就是回路中电流的瞬时值

由此可知，导体棒向下运动过程中，回路中的电流是逐渐增大的。
导体棒刚下滑的瞬间，回路中的电流为零，此时导体棒的合外力方向沿斜面向下，大小为:

当导体棒合外力为零时，此时导体棒的速度最大，设导体棒速度最大时所处的位置为平衡位置，设此时导体棒运动的位移为，电流为，则有：

在平衡位置的下方，导体棒的合外力沿导轨向上，则有：

将(4)、(6)两式代入可得：

在关系式(8)中，就是导体棒偏离平衡位置的位移，由此可知沿导轨方向做简谐运动，其中就是回复系数。导体棒运动到最低点时，导体棒的合外力满足：

可以求出导体棒中的最大电流：

当导体棒滑到最低点时，导体棒向下运动的位移最大，且为,联立(4)、(10)两个关系式，可知：

解得振幅：

根据简谐运动的周期公式，结合本题中回复系数的表达式，可以算出导体棒做简谐运动的周期：

根据题中振幅和最大速度的关系可得：

综上分析，本题答案：