每日一题第2689题(2026年3月南昌一模解答19)

思路简析‍‍‍

今天的题目是这个月的南昌一模的解答题第19题，难度中等。

这个题也出得很不错，立几和解几的结合，并且还不是求出轨迹后就变成单独的解几题了，而是在第三问从解几又回归了立体几何。单独拆出来的话都不难，合在一起就会让学生有些头疼了。

题干中给出了点P到平面ABB1A1(d1)和到点F的距离之比，后面要求轨迹，那么肯定是要先把d1转换到平面ACC1A1上，而这两个平面交线是AA1，夹角是45°，刚好和系数√2/2有关系，那么自然通过作AA1的垂线来转化，得到轨迹之后最值就很简单了。

第二问给出了平面AB1F和轨迹M交于R,G两点，那么AB1F首先要和平面ACC1A1相交才行，而这个交线就是AC1，所以就变成了AC1这条线和抛物线相交，那么就直接转化为了平面中的直线和抛物线相交求弦长问题了。

第三问先处理GR，GQ和底面ABCD所成角相等，要处理直线和平面所成角，先考虑把角度作出来，也就需要找这条斜线在平面内的射影，而这两条线的射影都是AC，所以也就是和AC夹角一样，AC又和坐标轴平行，进而也就是斜率相反，也就变成了圆锥曲线中的常见题型。然后再处理平面α和平面ABCD的夹角，肯定优先考虑向量，平面ABCD法向量很简单，平面α是过RQ并且平行AB的，所以AB向量有了，那么就要把RQ向量找到，而RQ在空间中的横坐标x都是0，也就是只看纵坐标和竖坐标，所以实际上要找的就是在ACC1A1内的RQ的斜率，有了这个斜率，就有了RQ向量，后面就可以直接求了。所以现在就变成了已知GR，GQ斜率互为相反数，求RQ的斜率，把这个翻译出来后就很容易了。