南昌二模的T19把解析几何与数列巧妙地融合起来，并且考察了比较经典的三角数列和裂项，不偏不难，是个好题。

题目

19.（17分）已知一系列椭圆  的右焦点为  ，上顶点为  ， ， 是等腰三角形（  ），
（1）求椭圆  的方程；
（2）求数列  的通项公式； 
（3）若数列  的前  项和为  ，若对任意的  ，都有  ，求  的最小值.

分析

显然可以发现题中椭圆的作用只是提供关于  与  的等量关系（后来才知道，是我想错了^^），因此抓住等腰三角形的条件翻译即可。简单分析可知底边只能是  ，列出边长相等的方程即可得到  的递推式：

到这一步就需要一点注意力了（真的只是一点！）。可以发现式子右边的负倒数恰好就是正切二倍角的形式，因此考虑进行正切换元  ，从而可以求出  的通项公式，进而得到  （别忘了还有椭圆自带的条件  ！）

事实上最后化简得到的  结果还算好看：

但是随之而来的第三问却要对  的求和与其的比进行估计，看起来非常非常吓人！虽然显然的可以得到  是单调递增的，因此  最大可以取  ，但好像并没有什么卵用。怎么办？

事实上，对于这类三角数列问题，一种常见的处理方式就是裂项，尤其是对于求和式。在这种情况下， 其实是可以求出来的，需要积累。这需要借助到一个比较经典（？）的恒等式，在三角裂项中也是老生常谈了：

虽然建议直接记住，但我们还是可以谈谈这个是怎么想到的。有关于  的裂项，我们经常用到的性质就是 ，它可以“强行凑出”我们想要裂出的式子。因此，如果我们给左边的式子上下同时乘上  ，那么分子就可以利用这个性质展开正弦和差角公式，进而与分母相消。

做到这里，后面基本就没啥难度了。

解答

（1）设坐标原点为  由  知 ；又，因此若 是等腰三角形，只能有  ，即

又由椭圆性质知 ，故由  知 ，进而  ，

因此，椭圆 的方程为 

（2）设 ，代入  式得

由  ，不妨 , ，则  ，累乘即得 

故 ，

（3）因为

故累加得  设  ，则

因此 ， ，故  的最小值为 

更快更好的做法!

写完发现好像没有用到椭圆的性质。仔细一想，才发现本题其实根本就不需要各种“注意力”级别的三角换元和裂项，只需要对题设的图形进行转化，就能轻松得到这些结果。或许这才是命题人的本意：

（2）设 ，由  是等腰三角形，则 ，，从而 

在  中，易知 ，因此 

（3）由（1），  ，故  （后同）

总结

一道非常好的题目，将三角换元与裂项巧妙地融进椭圆里，这或许也是其几何方法的体现。

好吧笔者本人做的时候选择直接转化为代数问题了，因此并没有发现利用几何关系能简化大量过程的事实。本文就当是三角数列的注意力练习罢（（

（又水了一篇喵。