2026届江西南昌高三二模数学：威积分独家蒸馏报告

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【原卷第11题】题型定位：导数与不等式恒成立

已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ）

💡 威威点拨：
这不是一道硬算导数的题，真正的入口是“保号性”。两个可能变号的函数相乘结果恒非负，唯一的要求是它们必须在完全相同的位置发生变号。

【常规法】：同根等价转化法

第一步：分析超越函数部分的根。

设，求导得。 因为，令得。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。的最小值为。 结合极值小于且两端趋于无穷大，可知有两个不同的实数根。

第二步：利用保号性转化为二次方程的根。

要使恒成立，由于在处变号，那么多项式必须也在处同时变号，才能“负负得正”。 即也是的两个实数根。 由韦达定理：

由变形为。设，易得其在处取得极小值。 因为，直线与的交点横坐标满足。 所以，，选项 A 正确。 因为有两个不同实根，判别式，选项 B 正确。

第三步：代数化简与最值分析。

由且，两式相乘得：

因此选项 C 错误。 对于选项 D，将代入目标式：

设，求导得。 当时取得最大值，选项 D 正确。

故选

【威积分秒杀法】：根系同构直译

核心逻辑：
看到乘积恒非负，直接翻译为“二次方程的根等于超越方程的根”，连跳三步繁琐证明。

关键结论：
 超越方程必有两正根，直接秒杀 A、B。 代数关系由纵向相乘，立刻得到，一眼排除 C。

考场处理：
 考场上不要去严谨论证时的极限，知道与极值点的关系就够了。直接用替换目标式中的，单变量求导 30 秒出答案。

最终答案：

【分数段决策】

80—100 分学生：
 必须掌握“乘积恒非负推导同根”这个结论。只要把和换成和，A 和 B 的分数就能白拿。

100—120 分学生：
重点攻克代数化简环节。考场上看到指数与多项式的混合，立刻想到取对数或者纵向相乘化简，这是解决 C 和 D 的金钥匙。

120+ 学生：
 追求极致速度。脑海中自带的图像，直接看图说话，把精力留给最后求的极值上，确保全对。

【原卷第14题】题型定位：空间向量模长最值

已知向量，，，，当向量的模长取得最小值时，________.

💡 威威点拨：
考场上遇到向量坐标呈等差数列，千万别急着列二次函数配方，先用“数感”看一眼线性相关性。

【常规法】：代数展开与多元配方

第一步：坐标代入构造目标函数。

根据向量坐标运算法则：

目标向量  的坐标为：

第二步：求模长的平方并求最值。

设模长的平方为 ：

展开并对  分别求偏导（或强行配凑完全平方），令导数为  以寻找极值点。由于计算量过大，极易在考场上出现符号错误。

因此

【威积分秒杀法】：基底共面特征观察

核心逻辑：
如果一个向量能被另外两个向量线性表示，那么它们差的模长最小值为 。

结构识别：
观察坐标规律： 是公差为  的等差数列； 是公差为  的等差数列； 是公差为  的等差数列。 在空间中，任意等差数列型向量都必定共面！

考场处理：
直接令 ，看能否解出实数解。

两式相减秒得 ，代入得 。 检验第三维：，完全吻合！ 说明最小值就是 ，此时 。

最终答案：

【分数段决策】

80—100 分学生：
如果看不出等差数列的规律，老老实实展开第一步的式子，把  当主元配方，虽然费时间，但这是填空题，算对就能拿  分。

100—120 分学生：
必须具备空间向量的几何意义意识。模长最小值本质是点到平面的距离。只要联想到共面，就应该去尝试解方程。

120+ 学生：
这题属于“送分福利”。看到坐标是等差数列，直接在试卷上写方程解出 ，全程不超过 20 秒。

【原卷第18题】题型定位：双曲线综合与角度相似

已知双曲线  的离心率 ，其上顶点为 ，过点  作斜率为  的直线  与双曲线的两支分别相交于  两点（ 在双曲线  的上支）且与  轴相交于  点，直线  与  轴相交于  点。 （1）求双曲线  的标准方程； （2）设直线  的斜率分别 ，求证： 为定值； （3）是否存在直线  使得 ，若存在，求出  的值；若不存在，请说明理由。

💡 威威点拨：
解析几何里的相似三角形，本质上都是在考“夹角正切值相等”。先把几何相似翻译成斜率公式，是破局的唯一入口。

【常规法】：联立韦达与夹角公式

第一步：基本量求解得标准方程。

由上顶点  知 。 离心率 。。

因此双曲线方程为：

第二步：设线联立与韦达定理。

设直线  的方程为 。联立双曲线方程：

设 ，则：

计算 ：

展开化简后代入韦达定理，得到：

同时可得副产品。

第三步：翻译相似条件并解方程。

若，由对应顶角相等，得。即为直线，其斜率为，在轴上，所以。为直线的夹角，由夹角公式：

所以：

两边平方，利用代入：

解得。满足题意交于两支的条件。

因此

【威积分秒杀法】：对应角斜率直译模型

核心逻辑：
与其在平面几何里找线段比例，不如直接把几何语言强制翻译为代数语言。直接等价于倾斜角的正切方程。

关键结论：
只要算出和。 直接调用两直线夹角正切公式：

考场处理：
 方程列出后，完全变为关于的一元一次方程。考场上无需画出复杂的几何图去寻找对应边，代数方程自带所有几何约束。

最终答案：

【分数段决策】

80—100 分学生：
 必须稳拿（1）和（2）的分数。这属于标准流程的联立和化简，定值问题只要算仔细，这分是可以稳稳到手的。

100—120 分学生：
 要学会处理第（3）问的“相似”。看到相似，首选夹角公式。背熟是压轴题抢分的关键。

120+ 学生：
 不仅要会列式，还要在考场的高压环境下快速解出，并冷静核实“交于两支”的判别式与韦达根的符号约束条件，确保逻辑闭环。

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