高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 某书架的第一层放有 7 本不同的历史书，第二层放有 6 本不同的地理书.从这些书中任取 1 本历史书和 1
本地理书，不同的取法有（）
A. 13 种 B. 42 种 C. 种 D. 种
2. 已知直线与直线平行，则（）
A. 1 B. 3 C. 1 或 D. 或 3
3. 若直线与圆只有一个公共点，则（）
A. B. 1 C. 0 D. 2
4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布 ，
现有该新品种脐橙 10000 个，估计单果质量不低于 150g 的脐橙个数为（）
附：若，则 ， ，
.
A 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987
5. 小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫
芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知为坐标原点，双曲线右焦点为F，点在C 的渐近线上，过点
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F 作，垂足为 ， ，则C 的方程为（）
A. B.
C. D.
7. 小明参加户外植树活动，种植了A，B 两种树苗各 5 棵，A 种树苗的成活率为 0.8，B 种树苗的成活率为
0.6，记A，B 两种树苗最终成活的棵数分别为 ， ，则（）
注：设X，Y 为两个随机变量，则有 .
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 在四棱锥中 ， 底面是菱形 ， ， ， E 是上一点 ， 且
， ， ， ，则（）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得分分，有选错的得0 分.
9. 由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为
，记 ， ，则下面说法正确的是（）
A. 直线至少经过点中的一个点
B. 直线必经过点
C. 样本相关系数与回归系数同号
D. 对样本相关系数 ， 越大，两个变量之间的线性相关性越强
10. 如图，在八面体中， ， ， ， 均是边长为 4 的正三角形，且
平面 ， ， 均垂直于底面，下列结论正确的是（）
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A. B. 为正三角形
C. 点到平面的距离为 2 D. 直线与直线所成角的余弦值为
11. 已知A，B 分别为椭圆：的左、右顶点，D 为C 的上顶点，为坐标原点，E
为C 上一点，且位于第二象限，过点E 作轴，垂足为M，直线 ， 分别与y 轴交于点H，G，
则下列结论正确的是（）
A. 若D 是的中点，则
B. 若M 是C 的左焦点，则G 是的中点
C.
D. 若M 是的中点，则
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 展开式中的系数为________.
13. 已知抛物线C：的焦点为F，P 在C 上，若以为直径的圆与x 轴相切于点，则
________.
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字 1，1，3，3，乙的卡
片上分别标有数字 2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的
卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得 1 分的概率为_________，甲的总得
分为 1 的概率为_________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中装有 12 个大小相同的球，其中红球 2 个，黄球 3 个，白球 7 个，从中随机取出 3 个球.
（1）求取出的 3 个球中有 2 个白球的概率；
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（2）设X 表示取到的红球个数，求X 的分布列与数学期望.
16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：
患病情况患不患
服用情况病病
服用中药预防方 10 90
不服用中药预防
50 50 方
（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效?
（2）从参与该实验的人中任选一人，A 表示事件“选到的人服用中药预防方”，B 表示事件“选到的人患病”.
利用该调查数据，求 ， 的值.
附：，其中 .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 如图，在三棱锥中，是边长为 2 的正三角形，平面 ， ，点为
上的动点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）当最小时，求平面与平面所成角的余弦值.
18. 甲、乙 2 名同学最近 100 次的投篮情况如下：
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甲乙
投中 50 60
未投中 50 40
用频率估计概率，解答下列问题．
（1）若从甲、乙 2 人中随机选择 1 人投篮 1 次，求投中的概率．
（2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投
中 2 次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第
二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了 5 次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则
平局．甲、乙每次投中与否相互独立．
①求甲投了第 3 次后停止比赛的概率；
②求乙投了第 4 次后停止比赛概率．
19. 已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为A，右焦点为F，点B 在C 上，且
， ，直线与直线的斜率之比为 3.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点F 的直线 ， 分别与C 交于点D，E 和点M，N，若P，Q 分别为线段和的中点，当
直线 ， 的斜率之积为时，求的面积的最大值.
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